Vetenskapen och hypoteserna. Femte kapitlet

←  Rymden och geometrien

Vetenskapen och hypoteserna av Henri Poincaré

Den klassiska mekaniken  →

Erfarenheten och geometrien.

1. I det föregående har jag redan vid upprepade tillfällen försökt visa, att geometriens principer ej äro experimentella fakta och isynnerhet, att det euklidiska postulatet icke skulle kunna bevisas genom erfarenheten.

Huru obestridliga de redan uppgivna skälen än förefalla mig vara, tror jag mig dock ytterligare böra uppehålla mig något vid dem, emedan i många sinnen djupt rotade, falska föreställningar finnas.

2. Om man förskaffar sig en materiell cirkel och uppmäter radien och omkretsen samt söker utfinna, om dessa båda längders förhållande till varandra är lika med $\pi$, vad är det man då har gjort? Man har företagit ett experiment med egenskaperna hos det material, varmed man framställt denna rundel och det varav metermåttet, som man använder för uppmätningen, är gjort.

3. Geometrien och astronomien. Samma fråga har även framkastats i en annan form. Om Lobatschewskys geometri är sann, så skulle en mycket avlägsen stjärnas parallax vara ändlig och om Riemanns geometri är sann, skulle den vara negativ. Sådana resultater synas ligga inom erfarenhetens räckvidd och man hade hoppats, att de astronomiska observationerna skulle tillåta ett avgörande mellan de tre geometrierna.

Men vad man inom astronomien benämner en rät linje, det är helt enkelt ljusstrålens bana. Om man sålunda tvärt emot all sannolikhet skulle lyckas upptäcka negativa parallaxer eller att bevisa det alla parallaxer ligga ovanför en viss gräns, hade man att välja mellan tvenne slutledningar; vi skulle nämligen kunna avstå ifrån den euklidiska geometrien eller omlägga de optiska lagarna och antaga, att ljuset icke fortplantar sig i strängt rät linje.

Det är överflödigt att tillägga, det var och en skulle anse denna sista lösning såsom den fördelaktigaste.

Den euklidiska geometrien har sålunda ingenting att frukta av nya erfarenheter.

4. Bör man hålla fast vid, att vissa i den euklidiska rymden möjliga företeelser skulle vara omöjliga i den icke-euklidiska rymden, på så sätt att erfarenheten vid bekräftandet av dessa företeelser direkt motsade den icke-euklidiska hypotesen? För mig vore en sådan fråga otänkbar, och enligt min uppfattning sammanfaller den helt och hållet med följande fråga, vars orimlighet faller var och en i ögonen: finnes det längder, som kunna uttryckas i meter och centimeter, men som man icke kan mäta i famnar, fot och tum, så att experimentet vid bekräftandet av förekomsten av dessa längder direkt motsade hypotesen, att det finnes famnar delade i sex fot?

Låtom oss närmare undersöka frågan. Jag antager, att den räta linjen i den euklidiska rymden besitter tvenne egenskaper, likgiltigt vilka, och som jag benämner $A$ och $B$. Vidare antager jag, att den i den icke-euklidiska rymden fortfarande besitter egenskapen $A$, men icke längre egenskapen $B$ samt slutligen, att den räta linjen såväl i den euklidiska som i den icke-euklidiska rymden är den enda linje, som besitter egenskapen $A$.

Om det förhölle sig så, skulle erfarenheten vara skickad att fälla domen mellan den euklidiska och den Lobatschewskyska hypotesen. Man skulle kunna konstatera, att något konkret föremål inom räckvidd för erfarenheten, t. ex. en knippa ljusstrålar, vore i besittning av egenskapen $A$. Härav kunde man draga den slutsatsen, att den är rätlinig och man kunde slutligen söka utfinna, om den besutte egenskapen $B$ eller ej.

Men på detta sätt förhåller det sig ej, ty någon sådan egenskap, som liksom denna egenskap $A$ kan utgöra ett osvikligt kännetecken för igenkännandet av den räta linjen och dess skiljande från alla andra linjer förekommer icke.

Här invänder man kanske: "Jo, följande egenskap är sådan. Den räta linjen är en så beskaffad linje, att en figur, varav den utgör en del, kan röra sig utan att det ömsesidiga avståndet mellan denna linjes punkter förändras och så, att alla dessa punkter förbliva orubbade."

Här hava vi faktiskt en egenskap, som i den euklidiska liksom i den icke-euklidiska rymden tillhör den räta linjen och uteslutande henne. Men huru skall man på erfarenhetens väg kunna få kännedom om, ifall den tillhör det eller det konkreta föremålet? Man måste mäta avstånd, men huru kan man veta att en sådan konkret storhet, som jag mätt med mitt materiella mätinstrument, riktigt återgiver det abstrakta avståndet?

Man har endast flyttat svårigheten längre bort.

Den egenskap jag nyss talade om, är faktiskt icke en endast den räta linjen tillkommande egenskap, den är en för den räta linjen och avståndet gemensam sådan. För att den skall kunna tjänstgöra såsom ofelbart kännemärke, fordras att man kan fastställa, icke endast att den ej tillkommer någon annan linje än den räta samt avståndet, men dessutom att den icke tillhör någon annan linje än den räta och icke någon annan storhet än avståndet. Detta är emellertid icke riktigt.

Det är således omöjligt att uttänka ett konkret experiment, som kan uttolkas i det euklidiska systemet, men ej i det Lobatschewskyska. Alltså kan jag draga den slutsatsen, att

ingen erfarenhet blir någonsin motsägande det euklidiska postulatet; å andra sidan blir heller aldrig någon erfarenhet stridande emot det Lobatschewskyska postulatet.

5. Men det är icke tillräckligt att den euklidiska (eller den icke-euklidiska) geometrien aldrig kan direkt vederläggas genom erfarenheten. Skulle det icke kunna förhålla sig på så sätt, att geometrien endast vid kränkning av principen om tillräcklig grund och rymdens relativitet kan överensstämma med erfarenheten?

Jag skall närmare förklara mig. Vi betrakta ett materiellt system, likgiltigt vilket. Vi hava att å ena sidan undersöka "tillståndet" hos olika kroppar inom systemet (t. ex. deras temperatur, elektriska potential etc.) och å andra sidan deras läge i rymden. Bland de uppgifter, som tillåta oss att bestämma detta läge, urskilja vi kropparnas ömsesidiga avstånd, vilka bestämma deras relativa läge och de betingelser, som bestämma systemets absoluta läge och dess absoluta inställning i rymden.

Lagarna för de företeelser, som frambringas inom detta system, kunna bero på tillståndet hos kropparna och deras ömsesidiga avstånd. Men på grund av rymdens relativitet och passivitet bero de icke på systemets absoluta läge och inställning.

Kropparnas tillstånd och deras ömsesidiga avstånd i ett visst ögonblick bero med andra ord uteslutande på dessa samma kroppars tillstånd och deras ömsesidiga avstånd i begynnelseögonblicket, men bero icke det minsta på systemets absoluta begynnelseläge och dess absoluta inställning från början. Detta är vad jag med ett kortfattat uttryck skulle vilja kalla relativitetslagen.

Hittills har jag talat såsom en euklidisk geometer. Men som sagt, varje experiment, huru det än må vara beskaffat, medgiver en tolkning i den euklidiska hypotesen, men det medgiver likaledes en sådan inom den icke-euklidiska hypotesen. Nå väl! Vi hava gjort en serie experimenter och funnit, att de tolkade på detta sätt icke kränka "relativitetslagen".

Sedan tolka vi dem enligt den icke-euklidiska hypotesen. Detta är alltid möjligt, endast att våra olika kroppars ömsesidiga icke-euklidiska avstånd vid denna nya tolkning i allmänhet ej äro desamma som de euklidiska avstånden vid den ursprungliga tolkningen.

Förbliva våra på detta sätt uttolkade experimenter fortfarande i överensstämmelse med vår "relativitetslag"? Och om denna överensstämmelse ej skulle förefinnas, hade man då också icke rättighet att säga, att experimentet ådagalagt den icke-euklidiska geometriens falskhet?

Vi inse lätt, att denna fruktan är överflödig. För att kunna tillämpa relativitetslagen i hela dess stränghet måste man faktiskt tillämpa den på hela universum. Ty om man endast betraktade en del av universum och om denna dels absoluta läge skulle komma att förändras, så skulle avstånden till de övriga kropparna i universum likaledes förändras. Deras inflytande på den betraktade delen av universum skulle följaktligen kunna tilltaga eller avtaga, vilket kunde förorsaka rubbningar i lagarna för de företeelser, som där försigginge.

Men om vårt system vore universum i dess helhet, så bleve erfarenheten oförmögen att giva oss upplysning angående dess läge och absoluta inställning i rymden. Allt vad våra instrumenter, huru fullkomnade de än vore, kunde låta oss veta, det vore tillståndet hos universums olika delar och dessas avstånd sinsemellan.

På så sätt skulle vår relativitetslag kunna formuleras på följande sätt:

de avläsningar, vi i ett visst ögonblick kunna göra på våra instrumenter, bero helt och hållet på de avläsningar vi hade kunnat göra på samma instrumenter i begynnelseögonblicket.

En dylik avfattning är emellertid oberoende av varje uttolkning av erfarenhetsfakta. Om lagen är sann i den euklidiska tolkningen, så är den också sann vid den icke-euklidiska.

Må man tillåta mig här göra en liten avvikelse. Jag har tidigare talat om de uppgifter, som definiera läget hos systemets olika kroppar. Jag hade likaledes bort tala om de uppgifter, som definiera deras hastigheter, och först skulle jag då hava urskilt den hastighet, med vilken de olika kropparnas avstånd sinsemellan varierar samt sedermera systemets förflyttnings- och rotationshastigheter, d. v. s. de hastigheter med vilka dess absoluta läge och inställning varierar.

För att anden till fullo skall känna sig tillfredsställd, borde relativitetslagen hava erhållit följande form:

Kropparnas tillstånd och deras avstånd sinsemellan i ett visst ögonblick, såväl som de hastigheter med vilka de förändra dessa avstånd i samma ögonblick, bero uteslutande på kropparnas tillstånd och deras avstånd sinsemellan i begynnelseögonblicket, såväl som på de hastigheter med vilka de förändrade dessa avstånd i detta begynnelseögonblick, men de bero varken på systemets absoluta begynnelseläge eller dess absoluta inställning och ej heller på de hastigheter, med vilka detta absoluta läge och denna absoluta inställning förändrades i begynnelseögonblicket.

Olyckligtvis står lagen sålunda avfattad ej i samklang med erfarenhetsfakta, åtminstone icke såsom man vanligtvis uttolkar dem.

Antag, att en människa flyttas över till en planet, vars himmel beständigt är betäckt med tjocka molnväggar, så att man aldrig kan varsebliva några andra stjärnor. På denna planet levde man såsom avskild från den övriga rymden. Denna människa kunde emellertid iakttaga, att hans planet vrider sig, antingen genom att mäta avplattningen (vilket man i vanliga fall gör medels tillhjälp av astronomiska observationer, men som även kan företagas med rent geodetiska medel), eller genom att upprepade gånger utföra experimentet med Foucaults pendel. Planetens absoluta rotation skulle sålunda till fullo kunna konstateras.

Här föreligger ett faktum, som stöter filosofen för huvudet, men som fysikern ser sig föranlåten att godkänna.

Som man vet, har Newton ur detta faktum härlett den absoluta rymdens existens. För min del kan jag ej under några förhållanden ansluta mig till detta åskådningssätt och varför skall jag förklara i denna boks tredje avdelning. För ögonblicket vill jag likväl ej vidröra denna svårighet.

Vid formulerandet av relativitetslagen har jag måst nöja mig med att sammanföra hastigheterna av alla slag bland de uppgifter, som definiera kropparnas tillstånd.

Huru härmed än må förhålla sig, är svårigheten densamma för såväl Euklides' som för Lobatschewskys geometri. Jag behöver således ej oroa mig över den, och jag har blott i förbigående velat vidröra den.

Vad som är av vikt, är just den satsen, att erfarenheten icke kan döma mellan Euklides och Lobatschewsky.

I korthet sagt, huru man än vänder sig, är det omöjligt att i den geometriska empirismen upptäcka en förnuftig mening.

6. Experimenten låta oss icke känna något annat än kropparnas förhållanden sinsemellan. Intet av dem når fram, eller kan någonsin nå fram till kropparnas förhållande till rymden eller till de ömsesidiga förhållandena mellan rymdens olika delar.

"Ja," svarar läsaren kanske, "ett enstaka experiment är otillräckligt, eftersom det endast giver mig en enda ekvation med flere obekanta. Men när jag hunnit göra tillräckligt många experimenter, erhåller jag även tillräckligt med ekvationer för att beräkna alla mina obekanta."

Att känna höjden på stormasten är icke nog för att kunna räkna ut kaptenens ålder. Om man mäter upp allt trävirke i hela fartyget, får man en hel mängd ekvationer, men man vet därför icke bättre besked om kaptenens ålder. Alla dessa mått hänföra sig till trästyckena och kunna icke uppenbara någonting annat, än vad som angår trävirket. På samma sätt förhåller det sig med experimenten. Huru talrika de än äro, så hänföra de sig endast till kropparnas förhållanden sinsemellan, och kunna icke för oss uppenbara någonting beträffande de ömsesidiga förhållandena mellan rymdens olika delar.

7. Här kommer säkerligen den invändningen att göras, att om experimenten hänföra sig till kropparna, så nå de dock åtminstone fram till dessas geometriska egenskaper.

Men vad förstås till att börja med med kropparnas geometriska egenskaper? För min del antager jag, att det är fråga om kropparnas förhållande till rymden. Dessa egenskaper äro alltså oåtkomliga för sådana experimenter, som blott syfta på kropparnas förhållande till varandra. Ensamt detta är tillräckligt för att visa, att det icke är dessa egenskaper frågan gäller.

Det är i alla fall på tiden att vi komma överens om betydelsen av uttrycket: kropparnas geometriska egenskaper. Då jag säger, att en kropp är sammansatt av flera olika delar, antager jag, att jag härmed icke angiver en geometrisk egenskap och detta skulle vara sant, till och med om jag ginge in på att åt de minsta partier jag kan upptäcka giva det oegentliga namnet punkter.

Då jag säger, att den och den delen hos den och den kroppen står i beröring med den och den delen hos en annan kropp vilken som helst, så uttalar jag ett påstående, som har avseende på dessa båda kroppars förhållande sinsemellan och icke på deras förhållande till rymden.

Jag förmodar, att läsaren är överens med mig om, att detta icke är geometriska egenskaper. Jag är åtminstone säker på, att man ger mig rätt uti, att dessa egenskaper äro oberoende av all bekantskap med den metriska geometrien.

Detta förutsatt, föreställer jag mig, att vi hava en fast kropp, hopsatt av åtta smala järnstänger $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $OF$, $OG$, $OH$, förenade med varandra i ena ändan $O$. Å andra sidan hava vi en annan fast kropp t. ex. ett stycke trä, varpå man med bläck utmärkt tre fläckar, som jag vill kalla $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Vidare antager jag, att man konstaterar det $\alpha \beta \gamma$ kunna sättas i samband med $AGO$ (jag menar $\alpha$ med $A$, på samma gång som $\beta$ med $G$ och $\gamma$ med $O$), och slutligen att man efter varandra kan bringa $\alpha \beta \gamma$ i förbindelse med $BGO$, $CGO$, $DGO$, $EGO$, $FGO$, sedan med $AHO$, $BHO$, $CHO$, $DHO$, $EHO$, $FHO$ och ytterligare $\alpha \gamma$ efter varandra med $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$.

Här se vi de fastställanden man kan göra, utan att på förhand hava något begrepp om den metriska rymdens form eller egenskaper. De sträcka sig alldeles icke fram till "kropparnas geometriska egenskaper". Och dessa fastställanden skulle ej vara möjliga, om de kroppar man underkastat sina experimenter rörde sig enligt en grupp med samma struktur som den lobatschewskyska (jag menar enligt samma lagar, som de fasta kropparna i Lobatschewskys geometri). De äro sålunda tillräckliga för att visa, att dessa kroppar röra sig enligt den euklidiska gruppen, eller åtminstone att de ej röra sig enligt den lobatschewskyska.

Att de äro förenliga med den euklidiska gruppen, är lätt att inse.

Ty man kan utföra dem, om kroppen $\alpha \beta \gamma$ vore en fast, oföränderlig kropp, tillhörande vår vanliga geometri och visande formen av en rätvinklig triangel och om punkterna $ABCDEFGH$ vore spetsarna på en polyeder, sammansatt av två hexagonala regelbundna pyramider, tillhörande vår geometri och med den gemensamma basen $ABCDEF$ och den ena med spetsen $G$, den andra med spetsen $H$.

Antag nu, att man i stället för föregående fastställanden märker, att man liksom nyss efter vartannat kan anbringa $\alpha \beta \gamma$ på $AGO$, $BGO$, $CGO$, $DGO$, $EGO$, $FGO$, $AHO$, $BHO$, $CHO$, $DHO$, $EHO$, $FHO$, och sedan efter vartannat $\alpha \beta$ (men ej längre $\alpha \gamma$) på $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ och $FA$.

Detta är de fastställanden man kan göra, om den icke-euklidiska geometrien vore riktig, om kropparna $\alpha \beta \gamma$, $OABCDEFGH$ vore oföränderliga fasta kroppar och om den första vore en rätvinklig triangel och den andra en regelbunden hexagonal dubbel pyramid i lämpliga dimensioner.

Dessa nya fastställanden vore sålunda icke möjliga, om kropparna rörde sig enligt den euklidiska gruppen. Men de bleve det, om man antoge, att kropparna rörde sig enligt den lobatschewskyska gruppen. De vore sålunda tillräckliga (om man verkligen utförde dem) för att bevisa, att kropparna i fråga icke röra sig enligt den euklidiska gruppen.

Utan att göra någon hypotes angående rymdens form och natur samt kropparnas förhållande till rymden och utan att tilldela kropparna någon geometrisk egenskap gör jag sålunda fastställanden, som tillåta mig visa, att de experimenten underkastade kropparna i ena fallet röra sig enligt gruppen med euklidisk struktur och i det andra enligt gruppen med lobatschewskysk struktur.

Och man bör akta sig för att säga, att den första samlingen av framställanden utgöres av en erfarenhet, som bevisar att rymden är euklidisk och den andra av en erfarenhet bevisande, att den är icke-euklidisk.

Faktiskt skulle man kunna föreställa sig (jag säger föreställa sig) kroppar, som röra sig på så sätt, att den andra serien fastställanden bleve möjlig. Och beviset härför är, att första, bästa mekaniker skulle kunna konstruera sådana kroppar, om han ville göra sig besvär därmed och åtaga sig kostnaderna. Men drag för den skull för all del ej den slutsatsen att rymden är icke-euklidisk.

Eftersom de vanliga fasta kropparna för övrigt skulle fortsätta att existera, sedan mekanikern konstruerat de främmande kroppar jag nyss talat om, måste man ju draga den slutsatsen, att rymden är på samma gång euklidisk och icke-euklidisk.

Låtom oss exempelvis antaga, att vi hava en stor sfär med radien $R$ och att temperaturen avtager från centrum till ytan enligt den lag jag talade om, när jag beskref den icke-euklidiska världen.

Vi skulle kunna få kroppar med utvidgning av föga betydenhet och vilka skulle förhålla sig såsom de vanliga oföränderliga fasta kropparna samt å andra sidan kroppar med mycket stor utvidgning och förhållande sig såsom icke-euklidiska kroppar. Vi skulle kunna få två dubbla pyramider $OABCDEFGH$ och $O'A'B'C'D'E'F'G'H'$ samt två trianglar $\alpha \beta \gamma$ och $\alpha '\beta '\gamma '$. Den första dubbla pyramiden skulle vara rätlinig, den andra kroklinig; triangeln $\alpha \beta \gamma$ skulle vara gjord av en icke utvidgningsbar materia, den andra av en mycket utvidgningsbar materia.

Man skulle alltså kunna göra de förstnämnda fastställandena med den dubbla pyramiden $OAH$ och triangeln $\alpha \beta \gamma$ och de senare med den dubbla pyramiden $O'A'H'$ och triangeln $\alpha '\beta '\gamma '$. Och experimentet synes sålunda först bevisa att den euklidiska geometrien är riktig och sedan att den är falsk.

Experimenten hänföra sig således icke till rymden, utan endast till kropparna.

Tillägg.

8. För att vara fullständig borde jag även tala om en särdeles ömtålig fråga och som skulle fordra långa utredningar. Jag inskränker mig emellertid till att i sammandrag återgiva mina framställningar i Revue de Métaphysique et de Morale och i The Monist. När vi säga, att rymden har tre dimensioner, vad mena vi därmed?

Vi hava insett vikten av dessa "inre förändringar", som uppenbarats oss genom våra muskulära förnimmelser och som kunna tjäna till att beteckna vår kropps olika attityder eller ställningar. Låtom oss helt godtyckligt taga en av dessa ställningar, nämligen $A$, till utgångspunkt. När vi övergå från utgångsställningen $A$ till någon annan ställning, t. ex. $B$, så erfara vi en serie $S$ muskulära förnimmelser, och denna serie $S$ definierar $B$. Likväl böra vi ej glömma, att vi ofta betrakta tvenne serier $S$ och $S'$ såsom definierande en och samma ställning $B$ (eftersom utgångs- och slutställningarna $A$ och $B$ förbliva desamma, men mellanställningarna med motsvarande förnimmelser kunna avvika). Huru igenkänna vi då likvärdigheten hos dessa båda serier? Jo, därpå att de bägge två kunna tjäna till att motväga en och samma yttre förändring, eller i allmännare ordalag därpå att, då det är fråga om att motväga en yttre förändring, den ena av serierna kan ersättas av den andra.

Bland dessa serier hava vi urskilt sådana, som ensamt för sig kunna motväga en yttre förändring och vilka vi benämnt "omflyttningar". Då vi icke kunna skilja tvenne varandra alltför närbelägna omflyttningar åt, så erbjuder dessas sammanfattning kännetecken på ett fysiskt kontinuum. Erfarenheten lär oss, att de just äro kännetecknen på ett fysiskt kontinuum i sex dimensioner, men vi veta ännu icke, huru många dimensioner rymden själv har och därför måste vi först lösa en annan fråga.

Vad är en punkt i rymden? Hela världen tror sig veta det, men detta är en illusion. Vad vi se, när vi försöka föreställa oss en punkt i rymden, det är endast en svart fläck på ett vitt papper, en kritfläck på svarta tavlan, det är alltid ett föremål. Frågan bör därför således uppfattas som följer:

Vad menar jag, när jag säger att föremålet $B$ befinner sig i samma punkt, som nyss intogs av $A$? Eller ännu bättre, vilket kännetecken låter mig förstå det?

Jag menar, att om jag också icke har rört mig (varom min muskulära känsla varskor mig), så rör mitt pekfinger, som för ett ögonblick sedan snuddade vid föremålet $A$, i alla fall nu vid föremålet $B$. Jag skulle kunna använda mig av andra kännetecken, till exempel av ett annat finger eller av mitt synsinne, men det första kännetecknet är tillräckligt, ty jag vet, att om det svarar ja, så giva alla de andra kännetecknen samma svar. Jag vet det genom erfarenheten, jag kan ej veta det a priori. Det är också för den skull jag säger, att känseln ej kan utövas på avstånd och detta är ytterligare ett sätt att uttrycka samma experimentella faktum. Men om jag däremot säger, att synen utövas på avstånd, menar jag därmed, att det genom synsinnet erhållna kännetecknet kan svara ja, under det att de övriga svara nej.

Och faktum är, att föremålet, ehuruväl det avlägsnar sig, kan forma sin bild på samma punkt på näthinnan. Synen svarar ja till, att föremålet kvarstår på samma plats och känseln svarar nej, ty mitt finger, som nyss rörde vid föremålet, gör det icke längre. Om erfarenheten hade visat oss, att ett finger kan svara nej, när ett annat svarar ja, då skulle vi även kunna säga, att känseln utövas på avstånd.

Uttryckt i några få ord kan man säga, att för varje ställning min kropp intager, bestämmer mitt pekfinger en punkt och det är uteslutande detta, som definierar en punkt i rymden.

På så sätt motsvaras varje ställning av en punkt i rymden, men det händer ofta, att samma punkt svarar emot flere olika ställningar (och det är i sådana fall, då vi säga, att fingret icke har rört sig, men i stället den övriga kroppen). Vi urskilja alltså bland förändringarna i ställningen sådana, vid vilka fingret ej har rört sig. Huru hava vi förts därhän? Jo, emedan vi ofta iakttaga, att det föremål, som vid dessa förändringar står i beröring med fingret, icke lämnar denna beröring.

Låtom oss därför inom samma klass inordna alla de ställningar, som genom en av de förändringar vi sålunda avskilt härledas den ena ur den andra. Mot varje ställning inom samma klass svarar samma punkt i rymden. Men man kunde säga, att vad erfarenheten når fram till, det är icke punkten, det är denna klass förändringar, eller bättre den motsvarande klassen muskulära förnimmelser.

Och när vi så säga, att rymden har tre dimensioner, mena vi helt enkelt, att dessa klassers sammanfattning framträder för oss med kännetecknen hos ett fysiskt kontinuum i tre dimensioner.

Man vore frestad draga den slutsatsen, att det är erfarenheten, som lär oss, huru många dimensioner rymden har. Men i verkligheten hava våra erfarenheter här sträckt sig icke till rymden, utan till vår kropp och dess förhållanden till de närbelägna föremålen. Dessutom äro dessa erfarenheter i högsta grad grova.

I vår själ fanns på förhand en hemlig föreställning om ett visst antal grupper, och det är dessas teori Lie har uppställt. Vilken av dem skola vi välja för att använda såsom ett slags likare, med vilken vi kunna jämföra de naturliga företeelserna? Och när vi gjort vårt val, vilken av dessa undergrupper skola vi taga för att karaktärisera en grupp i rymden? Erfarenheten ledde våra steg och visade oss, vilket val, som var bäst anpassat efter vår kropps egenskaper. Men hitintill är också dess roll inskränkt.

Den nedärvda erfarenheten.

Det har ofta sagts, att om den individuella erfarenheten icke har kunnat skapa geometrien, så är förhållandet ej detsamma med den nedärvda erfarenheten. Men vad förstås härmed? Menar man, att vi på experimentell väg ej kunna bevisa det euklidiska postulatet, men att våra förfäder kunde göra det? Nej, härmed menas, att vår ande genom naturligt urval lämpat sig efter den yttre världens förhållanden, att den har antagit den för släktet fördelaktigaste geometrien, eller med andra ord den bekvämaste. Detta är helt och hållet i överensstämmelse med våra slutsatser, geometrien är icke sann, den är fördelaktig.