Sida:Arithmetica eller räknekonst.djvu/49

46

De Progressione Arithmetica

minskas med samma skilnad. Därföre kan hwar och en Arithmetisk Progression föreställas således: $a,a{+ \atop \div }d,a{+ \atop \div }2d,a{+ \atop \div }3d,a{+ \atop \div }4d$, &c, $a{+ \atop \div }{\overline {dn\div d}}$. Här af kan man finna at uti en Arithmetisk Progression är sidsta Termen lika stor med den första Termen, ekad eller minskad med Differencen så många gångor tagen, som Termernas antal minskat med enheten.

§. 56. Summan af en Arithmetisk Progressino är lika med Summan af den första och den sidsta Termen, Multiplicerad med hälften av Termenas antal, som redan uti §. 54 är visat. Där första Termen wara = a; sidsta = u; Termernas antal = n; (d = skillnaden) Progressions Summan = s; så är Summan af hwart par mellanliggande Termer äfwen = a + u (§. 54.); Men Summan af alla deße Summor, = med Progressionens Summa. Nu är deße Summors antal = 12n; ty hwar och en af dem äro bestående af tvänne Termer. Därföre utgöra alla deße Summor tilsammans tagne i en summa = ${1 \over 2}n\times a+u$ och således $s={1 \over 2}n\times a+u$; och efter $u=a{+ \atop \div }n{\div \atop +}1\times d$ (§. 55.) $=a{+ \atop \div }dn{\div \atop +}d$: så är $s={{na+nu} \over 2}={{na+na} \over 2}{{{+ \atop \div }dn^{2}{\div \atop +}dn} \over 2}$ $={{2na{+ \atop \div }dn^{3}{\div \atop +}dn} \over 2}$

Af