Vetenskapen och hypoteserna. Fjärde kapitlet

←  Den icke-euklidiska geometrien

Vetenskapen och hypoteserna av Henri Poincaré

Erfarenheten och geometrien  →

Rymden och geometrien.

Må det tillåtas mig att börja med en liten paradox.

Varelser, som voro utrustade med liknande förstånd som vårt och försedda med samma sinnen som vi, men som icke erhållit någon föregående uppfostran, skulle från en lämpligt vald, yttre värld kunna emottaga sådana intryck, att de föranleddes till konstruerandet av en annan geometri än den euklidiska och att lokalisera denna yttre världs företeelser i en icke-euklidisk rymd eller till och med i en rymd med fyra dimensioner.

Om vi, som mottagit vår uppfostran genom den föreliggande världen, plötsligt befunne oss förflyttade till denna nya värld, så skulle vi ej hava någon svårighet att hänföra de där förekommande företeelserna till vår euklidiska rymd. Och omvänt, om dessa varelser förflyttades till oss, skulle de känna sig föranlåtna att hänföra våra företeelser till den icke-euklidiska rymden.

Men icke nog härmed. Med en smula ansträngning kunde vi göra på samma sätt. Någon som ville ägna sitt liv åt denna sak, skulle kanske komma därhän, att han kunde föreställa sig den fjärde dimensionen.

Den geometriska rymden och föreställningsrymden. Man säger ofta, att de yttre föremålens bilder äro lokaliserade i rymden, ja, till och med att de endast kunna uppstå under detta villkor. Man säger vidare, att denna rymd, som sålunda tjänar till en för våra förnimmelser och föreställningar fullkomligt passande ram, är identisk med geometrernas rymd, vars alla egenskaper den besitter.

För månget huvud, som tänker på detta sätt, måste föregående uttalande förefalla högst egendomligt och det vore kanske på sin plats att undersöka, om vi ej äro offer för en illusion, som en fördjupad analys skall skingra.

Vilka äro i första hand egenskaperna hos rymden i egentlig mening, jag skulle vilja säga hos den rymd, som utgör föremål för geometrien, och som vi hädanefter skola benämna den geometriska rymden. Några av de viktigaste äro följande:

1:o den är sammanhängande;

2:o den är oändlig;

3:o den har tre dimensioner;

4:o den är homogen, d. v. s. att alla dess punkter äro fullständigt identiska med varandra;

5:o den är isotropisk, d. v. s. att alla räta linjer, som gå genom en och samma punkt, äro fullständigt identiska med varandra.

Nu skola vi jämföra den med ramen för våra föreställningar och förnimmelser, vilken jag skulle vilja kalla föreställningsrymden.

Synrymden. Först skola vi betrakta ett rent synintryck, som framkallats genom en bild på näthinnans bakgrund.

En hastig analys visar oss denna bild såsom sammanhängande, men såsom ägande endast två dimensioner. Redan detta skiljer vad man skulle kunna kalla den rena synrymden från den geometriska.

Å andra sidan är denna bild innesluten i en begränsad ram.

Vidare föreligger en annan icke mindre viktig skillnad, nämligen att denna synrymd ej är homogen. Alla punkter på näthinnan, frånsett de bilder, som kunna forma sig på den, spela ej samma roll. Den gula fläcken kan ej under några förhållanden betraktas såsom fullt överensstämmande med en punkt vid näthinnans kant.

Icke endast det, att samma föremål där faktiskt frambringar ett mycket livligare intryck, utan i varje begränsad ram framträder ej den punkt, som upptager ramens mitt såsom fullt lika med en punkt i närheten av dess kanter.

En mera fördjupad analys skulle otvivelaktigt visa oss, att denna synrymds kontinuitet och dess två dimensioner icke äro något annat än en villfarelse. Den skulle sålunda ännu mera avlägsna den ifrån den geometriska rymden. Men låt oss förbigå denna anmärkning.

Synförmågan tillåter oss emellertid att uppskatta avstånden och följaktligen att uppfatta en tredje dimension. Men var och en vet, att denna uppfattning av den tredje dimensionen inskränker sig till känslan av den erforderliga ackomodationsansträngningen samt till den konvergens man måste giva bägge ögonen, för att redigt kunna uppfatta ett föremål.

Detta är muskulära, helt och hållet från de visuella avvikande förnimmelser, vilka senare givit oss begreppet om de två första dimensionerna. Den tredje dimensionen synes oss sålunda ej spela samma roll som de två andra. Vad man skulle kunna kalla den fullständiga synrymden är sålunda icke en isotropisk rymd.

Det är sant, att den har tre dimensioner, det vill säga att våra synförnimmelsers (åtminstone deras, som bidraga till att forma utsträckningsbegreppet) elementer skulle vara fullständigt definierade, när man känner tre av dem. Eller, för att använda det matematiska språket, synförnimmelserna skulle vara funktioner av tre oberoende variabler.

Men vi skola undersöka saken något mera ingående. Den tredje dimensionen har uppenbarats oss på två olika sätt, nämligen genom ackomodationsansträngningen och genom ögonens konvergens.

Dessa två kännetecken äro utan tvivel alltid överensstämmande. Det finnes dem emellan ett bestående förhållande, eller, enligt det matematiska uttryckssättet, de tvenne variablerna, som mäta dessa två muskulära förnimmelser, förefalla oss icke såsom oberoende av varandra. Men ännu bättre och för att undvika en vädjan till de redan tillräckligt raffinerade matematiska begreppen, kunde vi återvända till uttryckssättet i föregående kapitel och uttala samma företeelse i följande ordalag: om tvenne konvergensförnimmelser $A$ och $B$ äro oskiljbara från varandra, så äro de två ackommodationsförnimmelserna $A'$ och $B'$, som respektive åtfölja dem, likaledes oskiljbara sinsemellan.

Vi stå här inför ett så att säga experimentellt faktum. Intet hindrar oss från att a priori förutsätta motsatsen och om motsatsen äger rum, om dessa två muskulära förnimmelser variera oberoende av varandra, måste vi taga ytterligare en oberoende variabel med i räkningen och "den fullständiga synrymden" framträder för oss såsom ett fysiskt kontinuum i fyra dimensioner.

Här föreligger, jag upprepar det ännu en gång, ett från den yttre erfarenheten härrörande faktum. Intet hindrar oss ifrån att förutsätta, det en med samma sorts förnuft och med samma förnimmelseorganer som vi utrustad varelse kan befinna sig på en värld, där ljuset först kommer fram till honom, efter att hava genomlöpt strålbrytande ämnen av sammansatt form. De två kännetecknen vi betjäna oss utav vid värderandet av avstånden, skulle upphöra att vara förbundna genom ett konstant förhållande och en varelse, som i en så beskaffad värld hade utbildat sina sinnen, skulle otvivelaktigt tillerkänna den fullständiga synrymden fyra dimensioner.

Känselrymden och rörelserymden. "Känselrymden" är mycket mera komplicerad än synrymden och avlägsnar sig i ännu högre grad från den geometriska. Det är onödigt att för känseln upprepa den undersökning jag gjort angående synen.

Men utom synens och känselns vittnesbörd finnes det andra förnimmelser, som lika mycket och kanske ännu mera bidragit till uppkomsten av rymdbegreppet. Dessa äro allmänt bekanta, de ledsaga alla våra rörelser och man benämner dem vanligtvis muskulära.

Den motsvarande ramen betecknas med vad man kallar den motoriska rymden eller rörelserymden.

Varje muskel giver upphov till en särskild förnimmelse, som kan stegras eller förminskas, så att sammanfattningen av våra muskulära förnimmelser beror på lika många variabler, som vi hava muskler. Från denna sida sett, skulle rörelserymden hava lika många dimensioner, som vi hava muskler.

Här kommer säkerligen den invändningen att göras, att om de muskulära förnimmelserna bidraga till att bilda rymdbegreppet, så beror detta därpå att vi erhålla en känsla av riktningen hos varje rörelse och att denna utgör en integrerande del i förnimmelsen. Om det förhölle sig på detta sätt, om en muskulär förnimmelse ej kunde uppstå annat än beledsagad av en geometrisk känsla av riktningen, så skulle den geometriska rymden vara en vår känsla påtvingad form.

Men detta är långt ifrån den upptäckt jag gör, när jag analyserar mina förnimmelser.

Vad jag upptäcker, det är att de förnimmelser, som motsvara rörelser i samma riktning, i min själ äro förbundna genom en enkel idéassociation. Det är till denna association, som det vi kalla "riktningskänslan" hänför sig. Man skulle sålunda ej kunna återfinna denna känsla i en ensamstående förnimmelse.

Denna association är utomordentligt invecklad, emedan en muskels sammandragning allt efter lemmarnas läge kan svara emot högst olika riktningsrörelser.

Dessutom är den tydligen förvärvad. Den är som alla idéassociationer resultatet av en vana och denna vana är själv en följd av särdeles talrika erfarenheter. Om våra sinnens utbildning hade försiggått i en olikartad omgivning, där vi vore underkastade olikartade intryck, skulle utan tvivel fullständigt avvikande vanor hava upprunnit, och våra muskulära förnimmelser hade associerat sig efter andra lagar.

Föreställningsrymdens karaktär. Sålunda är föreställningsrymden under sin trefaldiga form, syn-, känsel- och rörelseformen, väsentligt olika den geometriska rymden.

Den är varken homogen eller isotropisk, man kan icke en gång säga, att den har tre dimensioner.

Man hör ofta det uttrycket, att man i den geometriska rymden "projicierar" föremålen för den yttre förnimmelsen, att man "lokaliserar" dem.

Finnes det någon mening i detta och vilken är i så fall denna mening?

Menas härmed, att vi föreställa oss de yttre föremålen i den geometriska rymden?

Våra föreställningar äro ingenting annat än återgivandet av våra förnimmelser, de kunna således blott inordnas inom samma ram som dessa, d. v. s. i föreställningsrymden.

Det är oss lika omöjligt att föreställa oss de yttre kropparna i den geometriska rymden, som det är omöjligt för en målare att på en plan yta måla föremålen med deras tre dimensioner.

Föreställningsrymden är endast en bild av den geometriska, en genom något slags perspektiv vanställd bild, och vi kunna endast föreställa oss föremålen genom att infoga dem efter detta perspektivs lagar.

Vi föreställa oss sålunda icke de yttre kropparna i den geometriska rymden, men vi resonera över dessa kroppar, som om de vore belägna i den.

När man å andra sidan säger att vi "lokalisera" ett visst föremål till en viss punkt av rymden, vad menas därmed?

Detta betyder helt enkelt, att vi föreställa oss de rörelser man måste göra för att nå detta föremål och må man akta sig för att säga, att man även måste projiciera dessa rörelser i rymden för att kunna föreställa sig dem och att rymdbegreppet följaktligen skulle preexistera.

När jag säger, att vi föreställa oss dessa rörelser, vill jag därmed endast uttrycka, att vi föreställa oss de muskulära förnimmelser, som beledsaga dem och som icke hava någon som helst geometrisk karaktär samt följaktligen ej alls innebära rymdbegreppets förutvarande existens.

Tillstånds- och lägesförändringar. Men, invänder man, när idéen om den geometriska rymden ej tvingar sig på vår ande, när över huvud taget ingen av våra förnimmelser kan tillföra oss den, huru har den då kunnat upprinna?

Detta är just, vad vi nu skola gå att undersöka och vilket kommer att taga en viss tid i anspråk, men jag kan även i några få ord sammanfatta det försök till förklaring, som jag sedermera skall utveckla.

Ingen av våra förnimmelser skulle ensamt för sig kunna tillföra oss rymdbegreppet, vi hava nått fram därtill uteslutande genom att studera de lagar, enligt vilka dessa förnimmelser följa på varandra.

Först och främst se vi, att våra intryck äro underkastade förändringar. Men bland de förändringar vi lägga märke till, finna vi oss snart föranlåtna att göra en urskiljning.

Ibland säga vi, att de föremål som förorsakat intrycken hava förändrat tillstånd och ibland, att de förändrat läge, att de blott och bart bytt plats.

Ett föremål må förändra tillstånd eller endast läge, så giver sig detta alltid till känna för oss på samma sätt, nämligen genom en rubbning i en viss samling intryck.

Huru bringas vi då till att skilja dem ifrån varandra? Den saken är lätt att utreda. Om endast en förändring till läget förekommit, kunna vi återställa det ursprungliga totalintrycket genom att företaga sådana rörelser, som åter placera oss i samma relativa ställning gent emot föremålet. Vi korrigera således den frambringade rubbningen och återställa begynnelsetillståndet genom en motsatt rubbning.

Om det t. ex. är fråga om synen och ett föremål byter plats framför våra ögon, så kunna vi "följa det med ögonen" och genom för ögongloben avpassade rörelser bibehålla dess bild på en och samma punkt på näthinnan.

Vi hava medvetande om dessa rörelser, emedan de äro frivilliga och åtföljda av muskulära förnimmelser, men detta betyder ej, att vi föreställa oss dem i den geometriska rymden.

Vad som karaktäriserar förändringen till läget, vad som skiljer den ifrån förändringen till tillståndet, det är just, att den alltid såmedels kan korrigeras.

Det är sålunda möjligt att övergå från intryckssamlingen $A$ till samlingen $B$ på två olika sätt, nämligen 1:o: ofrivilligt och utan att erfara några muskelförnimmelser, vilket inträffar, när det är föremålet som byter plats; 2:o: frivilligt och med muskelförnimmelser, vilket är fallet, när föremålet förblir orörligt och det är vi, som byta plats på sådant sätt, att föremålet i förhållande till oss får en relativ rörelse.

Om det förhåller sig på detta sätt, så är övergången från samlingen $A$ till samlingen $B$ blott en förändring i läget.

Av ovanstående framgår, att synen och känseln ej kunna tillföra oss rymdbegreppet utan tillhjälp av det "muskulära sinnet".

Och icke endast det, att detta begrepp ej kan härledas ur en enstaka förnimmelse. Ja, ej ens ur en följd av förnimmelser, men en orörlig varelse skulle aldrig kunna förvärva sig det, ty den skulle aldrig genom några rörelser kunna korrigera effekterna av de yttre föremålens förändringar till läget och sålunda icke på några villkor kunna skilja dem ifrån förändringarna till tillståndet. Den skulle heller aldrig kunna förvärva sig detta begrepp, om dess rörelser ej vore frivilliga, eller om de ej vore beledsagade av några som helst förnimmelser.

Kompensationsvillkoren. Huru är en sådan kompensation möjlig, att tvenne för övrigt av varandra oberoende förändringar ömsesidigt skola kunna korrigera varandra?

En intelligens, som redan hade kunskap om geometrien, skulle resonera på följande sätt.

För att kompensationen skall äga rum, måste tydligen de olika delarna hos det yttre föremålet å ena sidan och våra sinnens olika organer å andra sidan efter den dubbla förändringen åter befinna sig i samma relativa ställning. Och härför erfordras, att det yttre föremålets olika delar i förhållande till varandra likaledes hava bibehållit samma relativa ställning och sakläget måste vara detsamma med vår kropps olika delar i deras förhållande sinsemellan.

Uttryckt i andra ordalag, bör det yttre föremålet vid den första förändringen förflytta sig på samma sätt som en oföränderlig fast kropp och förhållandet bör vara detsamma med vår kropp i sin helhet vid den andra förändringen, vilken korrigerar den första.

Under dessa villkor kan kompensationen försiggå.

Men vi, som ännu ej hava någon vetskap om geometrien, eftersom rymdbegreppet ännu ej uppstått hos oss, vi kunna icke resonera på detta sätt, vi kunna icke a priori förutse om kompensationen är möjlig. Men erfarenheten lär oss, att den ibland inträffar och det är från detta erfarenhetsfaktum vi utgå för att skilja förändringarna i tillståndet från förändringarna i läget.

De fasta kropparna och geometrien. Bland de oss omgivande föremålen finnes det sådana, som titt och ofta erfara omflyttningar, vilka kunna korrigeras genom en motsvarande rörelse av vår kropp, dessa äro de fasta kropparna.

De andra föremålen, vars form är föränderlig, äro endast undantagsvis underkastade liknande omflyttningar (förändring till läget utan förändring till tillståndet). När en kropp har bytt om plats och samtidigt förändrat form, kunna vi icke längre genom avpassade rörelser återföra våra sinnesorganer i samma relativa läge i förhållande till denna kropp, vi kunna följaktligen ej längre återställa intryckens ursprungliga sammanfattning.

Icke förrän mycket sent och såsom en följd av nya erfarenheter lära vi oss att sönderdela kroppar av föränderlig form i mindre elementer och på så sätt, att var och en av dessa byter plats nästan enligt samma lagar som de fasta kropparna. Vi urskilja sålunda "omformningarna" från de andra tillståndsförändringarna. I dessa omformningar undergår varje element en enkel lägesförändring, vilken kan korrigeras, men den förändring det hela underkastas är mera djupgående och låter sig ej längre korrigeras genom en motsvarande rörelse.

Ett dylikt begrepp är redan det mycket invecklat och har ej kunnat uppträda annat än på ett relativt långsamt sätt. Det skulle för övrigt aldrig kunnat uppstå, om ej observerandet av de fasta kropparna först hade lärt oss att urskilja förändringarna till läget.

Om det sålunda icke funnes fasta kroppar i naturen, skulle det ej heller finnas någon geometri.

En annan anmärkning förtjänar även några ögonblicks uppmärksamhet. Vi föreställa oss en fast kropp, som först intager läget $\alpha$ och därifrån slutligen övergår till läget $\beta$. I sitt första läge utövar den på oss totalintrycket $A$, och i sin andra ställning totalintrycket $B$. Tag nu en annan fast kropp med helt och hållet mot den första avvikande beskaffenhet i betraktande, t. ex. olika färg. Antag vidare, att denna övergår från läget $\alpha$, varifrån den på oss utövar totalintrycket $A'$ till läget $\beta$, där den utövar totalintryck $B'$.

Sammanfattningen $A$ har på det hela taget ingenting gemensamt med sammanfattningen $A'$, liksom ej heller sammanfattningen $B$ med $B'$. Övergången från sammanfattningen $A$ till sammanfattningen $B$ och övergången från sammanfattningen $A'$ till $B'$ äro sålunda tvenne förändringar, som på det hela taget i och för sig själva icke hava någonting gemensamt.

Och likväl betrakta vi dessa båda förändringar såsom omflyttningar, ja ännu mera, vi betrakta dem såsom samma omflyttning. Huru kan detta komma sig?

Jo, helt enkelt därav, att båda kunna korrigeras genom samma motsvarande rörelse av vår kropp.

Således är det den "motsvarande rörelsen", som utgör det enda bandet mellan tvenne företeelser, vilka vi eljes aldrig skulle hava tänkt på att sätta i samband med varandra.

Å andra sidan kan vår kropp tack vare sina många leder och muskler utföra en mängd olika rörelser, men alla äro icke i stånd att korrigera en rubbning hos de yttre föremålen. Endast sådana rörelser äro skickade därtill, vari hela vår kropp deltager, eller där åtminstone alla de av vår kropps sinnesorganer som deltaga, i klump förändra läge, d. v. s. utan att deras relativa lägen rubbas, alldeles på samma sätt som vid en fast kropp.

Kort sagt:

1:o. Vi föranledas i första hand att urskilja tvenne slags företeelser, nämligen

första slaget, eller ofrivilliga, av muskulära förnimmelser icke beledsagade och som av oss tillskrivas de yttre föremålen; dessa äro de yttre förändringarna;

andra slaget, vilka uppvisa motsatta kännetecken och vilka vi tillskriva vår egen kropps rörelser, och dessa äro de inre förändringarna.

2:o. Vi märka, att vissa förändringar inom var och en av dessa kategorier kunna korrigeras genom en motsvarande förändring inom den andra kategorien.

3:o. Bland de yttre förändringarna urskilja vi sådana, som likaledes hava en motsvarande förändring inom den andra kategorien, och dessa kalla vi omflyttningar; och på samma sätt urskilja vi bland de inre förändringarna sådana, som hava en motsvarande förändring i den första kategorien.

Tack vare denna växelverkan, har sålunda den särskilda klass företeelser, som vi kalla omflyttningar, blivit definierad. Det är lagarna för dessa företeelser, som utgöra ämnet för geometrien.

Homogenitetslagen. Den första av dessa lagar är homogenitetslagen.

Antag, att vi genom en yttre förändring $\alpha$ övergå från intryckssamlingen $A$ till samlingen $B$ och därefter, att denna förändring $\alpha$ korrigeras genom en frivillig motsvarande rörelse $\beta$, på så sätt att vi återföras till samlingen $A$.

Antag vidare, att en annan yttre förändring $\alpha '$ på nytt kommer oss att övergå från samlingen $A$ till samlingen $B$.

Erfarenheten lär oss då, att denna förändring $\alpha '$ liksom $\alpha$ kan korrigeras genom en frivillig, motsvarande rörelse $\beta '$ och att denna rörelse $\beta '$ svarar emot samma muskulära förnimmelser som rörelsen $\beta$, vilken korrigerade $\alpha$.

Det är detta faktum man vill framhålla genom uttrycket, att rymden är homogen och isotropisk.

Man kan också säga, att en en gång frambringad rörelse kan upprepas en andra gång, en tredje, fjärde gång och så vidare, utan att dess egenskaper förändras.

I första kapitlet, där vi studerade det matematiska resonemangets natur, kommo vi till insikt om den vikt man bör tillmäta möjligheten att i det oändliga kunna upprepa en och samma operation.

Ur denna upprepning erhåller det matematiska resonemanget sin styrka. Det är sålunda tack vare homogeniteten den behärskar de geometriska fakta.

För att vara fullständiga borde vi komplettera homogenitetslagen med en massa andra liknande lagar, vilka jag icke i detalj vill ingå på, men som av matematikerna sammanfattas i ett ord, då de säga att omflyttningarna bilda "en grupp".

Den icke-euklidiska världen. Om den geometriska rymden vore en ram, som påtvingats var och en av våra föreställningar, betraktade särskilt för sig, skulle det vara oss omöjligt att föreställa oss en med denna ram icke försedd bild, och vi skulle aldrig kunna ändra någonting i vår geometri.

Men detta är icke förhållandet, geometrien är endast sammanfattningen av de lagar, enligt vilka dessa bilder följa på varandra. Intet hindrar oss ifrån att uttänka en serie föreställningar till punkt och pricka lika våra vanliga föreställningar, men efterföljande varandra enligt lagar, som äro avvikande från dem vi äro vana vid.

Man föreställer sig sålunda, att sådana varelser, vars uppfostran skett i en omgivning, där lagarna vore på detta sätt upp- och nedvända, skulle hava en helt och hållet från vår avvikande geometri.

Låtom oss t. ex. tänka oss en värld, innesluten i en stor kula och underkastad följande lagar:

Temperaturen är icke likformig, den är högst vid centrum och avtager allt efter som man avlägsnar sig därifrån för att sjunka ner till den absoluta nollpunkten, då man når fram till sfären, som omsluter denna värld.

Jag skall ytterligare precisera den lag, enligt vilken temperaturen varierar. Låt $R$ vara den omslutande sfärens radie och $r$ den betraktade punktens avstånd från dess centrum. Den absoluta temperaturen blir då proportionell mot $R^{2}-r^{2}$.

Vidare förutsätter jag, att alla kroppar i denna värld hava samma utvidgningskoefficient, på så sätt att längden hos en linjal vilken som helst är proportionell emot dess absoluta temperatur.

Jag förutsätter slutligen, att ett föremål som transporteras från en punkt till en annan med olika temperatur, ögonblickligen försätter sig i värmejämvikt med sin nya omgivning.

Intet i dessa hypoteser är motsägande eller omöjligt att föreställa sig.

Ett rörligt föremål blir sålunda mindre och mindre, allt i den mån det närmar sig den begränsande sfären.

Emellertid torde anmärkas, att om denna värld är begränsad från vår vanliga synpunkt sett, så förefaller den dock sina invånare oändlig.

När dessa vilja närma sig den begränsande sfären, svalna de faktiskt utav och bliva mindre och mindre. De steg de taga bliva följaktligen även mindre och mindre, och på så sätt kunna de aldrig nå fram till den begränsande sfären.

Om geometrien för oss icke är något annat än studiet av de lagar, enligt vilka de oföränderliga fasta kropparna röra sig, så blir den för dessa varelser studiet av de lagar, enligt vilka de fasta genom nu omtalade temperaturförändringar ombildade kropparna röra sig.

I vår värld erfara de naturliga fasta kropparna ovedersägligen likaledes förändringar till form och volym, beroende på uppvärmningar eller avkylningar, men vi förbise dessa förändringar vid grundläggandet av geometrien, ty utom det att de äro ytterst svaga, äro de även oregelbundna och förefalla oss följaktligen tillfälliga.

I denna hypotetiskt antagna värld är förhållandet icke detsamma, och dessa förändringar följa regelbundna och mycket enkla lagar.

De olika fasta delar, varav dess invånares kroppar äro sammansatta, äro å andra sidan ävenledes underkastade samma förändringar till form och volym.

Ännu en hypotes. Jag förutsätter, att ljuset genomlöper olika strålbrytande ämnen och så att brytningsexponenten blir omvänt proportionell emot $R^{2}-r^{2}$. Man inser lätt, att ljusstrålarna under sådana förhållanden icke bliva rätliniga utan cirkelformiga.

För att rättfärdiga vad som sagts, återstår det mig att visa, att vissa i de yttre föremålens läge inträffade förändringar kunna korrigeras genom motsvarande rörelser hos de med känselförmåga utrustade varelser, som bebo denna inbillade värld, och detta på sådant sätt att den ursprungligen av dessa kännande varelser erfarna intryckssamlingen återställes.

Låtom oss därför antaga, att ett föremål byter plats i och med att det omformas, men icke på samma sätt som en fast oföränderlig kropp, utan såsom en i noggrann överensstämmelse med ovan antagna temperaturlag oregelbundna utvidgningar underkastad fast kropp. Må det tillåtas mig att för korthetens skull benämna en dylik rörelse en icke-euklidisk omflyttning.

Om en kännande varelse befunne sig i grannskapet, skulle dennas intryck rubbas genom föremålets omflyttning, men hon skulle kunna återställa dem, genom att själv röra sig på lämpligt sätt. Det vore tillräckligt, om sammanfattningen av föremålet och den kännande varelsen, betraktade såsom bildande en enda kropp, till slut erfore en av dessa speciella omflyttningar, som jag nyss givit namnet icke-euklidiska. Detta blir möjligt, om man antager att dessa varelsers lemmar utvidga sig efter samma lag som de andra kropparna på den värld de bebo.

Ehuru från vår vanliga geometris synpunkt kropparna förändra form vid denna omflyttning och deras olika delar ej längre befinna sig i samma relativa läge, skola vi emellertid se, att den kännande varelsens intryck förbliva desamma.

Om de olika delarnas ömsesidiga avstånd kunnat variera, så hava icke desto mindre de ursprungligen i förbindelse med varandra stående delarna därefter faktiskt åter kommit i förbindelse. Känselintrycken hava sålunda icke förändrats.

Och taga vi i betraktande den tidigare uppställda hypotesen beträffande ljusstrålarnas brytning och buktning, skola vi finna, att synintrycken också förbliva desamma.

Dessa inbillade varelser föranledas således alldeles som vi att klassificera de av dem bevittnade företeelserna och bland dem urskilja "lägesförändringarna", som kunna korrigeras genom en frivillig, motsvarande rörelse.

Om de grundade en geometri, så bleve denna icke såsom vår ett studium av våra oföränderliga fasta kroppars rörelser, utan den skulle bliva studiet av de lägesförändringar de sålunda urskilja och som ej äro något annat än "icke-euklidiska omflyttningar", den skulle bliva icke-euklidisk geometri.

Således skulle med oss lika varelser, vars uppfostran ej försiggått i en sådan värld, icke få samma geometri som vi.

Den fyrdimensionella världen. Lika väl som man kan föreställa sig en icke-euklidisk värld, kan man även föreställa sig en värld i fyra dimensioner.

Synsinnet, till och med om man endast använde det ena ögat, förenat med de muskulära förnimmelserna, som hänföra sig till ögonglobens rörelser, skulle vara tillräckligt för att låta oss känna rymden i tre dimensioner.

De yttre föremålens bilder avteckna sig på näthinnan, som utgör en tavla i två dimensioner. De äro perspektiver.

Men som dessa föremål äro rörliga och som vårt öga ävenledes är rörligt, så se vi i följd på varandra olika perspektiver av en och samma kropp och upptagna från flere olika synpunkter.

Samtidigt konstatera vi, att övergången från ett perspektiv till ett annat ofta åtföljes av muskulära förnimmelser.

Om övergången från perspektivet $A$ till perspektivet $B$ och från perspektivet $A'$ till perspektivet $B'$ åtföljes av samma muskulära förnimmelser, så sammanställa vi dem såsom operationer av likartad natur.

Studera vi sedan de lagar, enligt vilka dessa operationer förbindas med varandra, finna vi att de bilda en grupp med samma struktur som gruppen av de oföränderliga, fasta kropparnas rörelser.

Vi hava emellertid sett, att det just är ur denna grupps egenskaper vi dragit begreppet om den geometriska rymden och rymden i tre dimensioner.

Nu förstå vi, huru föreställningen om rymden i tre dimensioner har kunnat upprinna vid anblicken av dessa perspektiver, ehuruväl vart och ett av dem blott har två dimensioner, ty de följa på varandra enligt vissa lagar.

Och lika väl, som man på en plan yta kan uppdraga perspektivet av en figur i tre dimensioner, kan man på en tavla med tre (eller två) dimensioner avteckna perspektivet av en figur med fyra dimensioner. För geometern är detta en barnlek.

Man kan till och med av samma figur upprita många perspektiver från flere olika synpunkter.

Dessa perspektiver kunna vi lätt föreställa oss, eftersom de endast hava tre dimensioner.

Låtom oss tänka oss, att olika perspektiver av ett och samma föremål efterfölja varandra och vidare, att övergången från det ena till det andra beledsagas av muskulära förnimmelser.

Som väl är att förstå, betrakta vi tvenne av dessa övergångar såsom två operationer av likartad natur, när de åtföljas av samma muskulära förnimmelser.

Intet hindrar oss från att föreställa oss dessa operationer i förbindelse med varandra, enligt vilken lag vi behaga, t. ex. så att de bilda en grupp av samma struktur som gruppen av rörelser hos en fyrdimensionell oföränderlig fast kropp.

Häri finnes intet, som man ej skulle kunna föreställa sig och likväl utgöras dessa förnimmelser helt och hållet av sådana, som en med en näthinna i två dimensioner utrustad varelse, vilken kan röra sig i en rymd med fyra dimensioner, skulle erfara.

I denna mening är det tillåtet att säga, att man kan föreställa sig den fjärde dimensionen.

Det vore icke möjligt, att på detta sätt föreställa sig Hilberts rymd, om vilken vi talade i föregående kapitel, eftersom denna rymd ej längre är ett kontinuum av andra ordningen. Den skiljer sig sålunda alltför djupgående från vår vanliga rymd.

Slutledningar. Som man ser, spelar erfarenheten en oundgänglig roll vid geometriens uppkomst, men det skulle vara ett misstag att därav draga den slutsatsen, att geometrien är — icke ens delvis — en experimentell vetenskap.

Om den vore experimentell, skulle den endast vara tillfällig och approximativ. Och vilken klumpig approximation!

Geometrien skulle endast vara studiet av de fasta kropparnas rörelser, men hon sysselsätter sig i verkligheten icke med de naturliga fasta kropparna, utan har till föremål vissa ideella, absolut oföränderliga solida figurer, som endast äro förenklade och mycket avlägsna bilder av de förstnämnda.

Föreställningen om dessa ideella kroppar har till alla delar utgått från vår ande, och erfarenheten är endast den tillfällighet, som föranlett oss att låta den göra så.

Vad som utgör ämnet för geometrien är studiet av en särskild "grupp", men det allmänna gruppbegreppet är på förhand till hos vår ande, åtminstone förmågan att bilda det. Det tvingar sig på oss, ej såsom en form av vår förnimmelseförmåga, utan såsom en form av vår uppfattning.

Bland alla möjliga grupper måste vi helt enkelt välja den, som så att säga bildar den måttstock, efter vilken vi sätta de naturliga företeelserna i överensstämmelse med varandra.

Erfarenheten leder oss i detta val, vilket den icke tvingar oss till. Den låter oss få veta, icke vilken som är den riktigaste geometrien, utan vilken som är den bekvämaste.

Man torde lägga märke till, att jag kunnat beskriva de fantastiska världar jag här ovan skildrat, utan att behöva frångå den vanliga geometriens uttryckssätt.

Och om vi bleve överflyttade dit, skulle vi ej ens då behöva göra några förändringar i det.

I dessa världar uppfostrade varelser finna det säkerligen bekvämare att skapa en med vår olikartad geometri, som bättre lämpar sig efter deras intryck. Vad oss beträffar, är det säkert att vi gentemot samma intryck skulle finna det bekvämare att icke göra några ändringar i våra vanor.