Vetenskapen och hypoteserna. Tredje kapitlet

← Den matematiska storheten och erfarenheten

Den icke-euklidiska geometrien.

Varje slutledning stöder sig på förutsättningar. Dessa förutsättningar äro endera fullkomligt självklara och behöva ej närmare bevisas, eller de kunna ej fastställas annat än genom stöd av andra propositioner och som man ej i oändlighet kan gå tillbaka på detta sätt, måste varje deduktiv vetenskap och geometrien i all synnerhet vila på ett visst antal obevisbara axiomer. Varje lärobok i geometri börjar också med ett uppräknande av dessa axiomer. Men bland dessa hava vi att göra en särskiljning. Somliga, som till exempel detta: "tvenne storheter, som äro lika med en tredje, äro sinsemellan lika", äro icke till geometrien utan till analysen hörande propositioner. Jag för min del betraktar dem såsom analytiska propositioner a priori och skall ej vidare sysselsätta mig med dem.

Men jag måste uppehålla mig vid några andra för geometrien speciella axiomer. De flesta läroböcker upptaga följande tre:

1) genom tvenne punkter kan blott dragas en rät linje;

2) den räta linjen är det kortaste avståndet mellan tvenne punkter;

3) genom en punkt kan blott dragas en med en given rät linje parallell linje.

Ehuru man vanligtvis ej bryr sig om att bevisa det andra av dessa axiomer, är det likväl möjligt att härleda den ur de två andra och även ur de ännu mycket talrikare axiomer, som man utan att uttala underförstått antager, såsom jag längre fram skall förklara.

Länge har man förgäves försökt bevisa det tredje axiomet, känt under namn av det euklidiska postulatet. Huru mycken kraft, som förslösats på denna bedrägliga förhoppning, är i sanning otroligt. I början på detta århundrade och nästan samtidigt fastslogo äntligen tvenne vetenskapsmän, ryssen Lobatschewsky och ungraren Bolyai, på ett ovederläggligt sätt, att detta bevis var en omöjlighet och därmed hava de nästan helt och hållet befriat oss från geometriska uppfinnare, som velat reda sig utan detta postulat och sedan denna tidpunkt emottager franska vetenskapsakademien knappt mer än ett eller par bevis om året.

Frågan var emellertid icke uttömd, men den tog ett stort steg framåt genom offentliggörandet av Riemanns berömda avhandling med titel: "Über die Hypothesen welche der Geometrie zum Grunde liegen". Denna lilla skrift har framkallat större delen av de nyare verk jag längre fram kommer att anföra och bland vilka jag särskilt vill fästa uppmärksamheten vid Beltramis och Helmholtz'.

Lobatschewskys geometri. Om det vore möjligt att härleda det euklidiska postulatet ur andra axiomer, skulle man tydligen med förnekandet av postulatet och antagandet av de andra axiomen föras till stridiga konsekvenser. Det vore sålunda omöjligt att på sådana förutsättningar stödja en sammanhängande geometri.

Emellertid är detta just vad Lobatschewsky har gjort. Han förutsätter från början, att:

genom en och samma punkt kan man draga flere med en given rät linje parallella linjer.

Och han bibehåller å andra sidan alla Euklides' övriga axiomer. Ur dessa hypoteser härleder han en följd teoremer, mellan vilka det är omöjligt att uppleta någon motsägelse samt uppbygger en geometri, vars ofelbara logik i intet står tillbaka för den euklidiska.

Teoremen äro helt naturligt mycket olika dem vi förut äro vana vid och verka en smula förvirrande i början.

Sålunda är summan av vinklarna i en triangel alltid mindre än två räta, och skillnaden mellan denna summa och tvenne räta vinklar är proportionell emot triangelns yta.

Det är omöjligt att upprita en figur likformig med en given figur, men med större eller mindre dimensioner.

Om man delar en cirkelperiferi i $n$ lika delar och drager tangenter genom delningspunkterna, så bilda dessa $n$ tangenter en månghörning, om cirkelns radie är mycket liten, men om denna radie är tillräckligt stor, mötas tangenterna aldrig.

Det är överflödigt att upprepa fler exempel. Lobatschewskys propositioner hava ej något samband med de euklidiska, men de äro icke mindre logiskt förbundna med varandra än dessa.

Riemanns geometri. Låtom oss föreställa oss en värld, uteslutande befolkad av varelser fullkomligt i saknad av tjocklek. Vidare antaga vi, att dessa "oändligt platta" djur alla befinna sig i ett och samma plan och att de ej kunna komma därifrån. Slutligen förutsätta vi, att denna värld är tillräckligt långt avlägsen från de övriga för att ej vara underkastad något inflytande från dem. Medan vi äro i farten med att uppställa hypoteser, går det för samma besvär att även tillerkänna dessa varelser förnuft och tilltro dem förmågan att åstadkomma geometri. I sådant fall tillskriva de säkerligen rymden endast två dimensioner.

Men vi förutsätta även, att dessa inbillade varelser, allt under det de förbliva i saknad av tjocklek, hava samma form som en sfärisk, icke en plan figur och att de alla befinna sig på samma klot, utan att kunna komma därifrån. Hurudan geometri skulle de kunna konstruera? Först och främst är det klart, att de ej tillerkänna rymden mera än två dimensioner och vad som för dem spelar rollen av en rät linje, det vore det kortaste avståndet mellan en punkt till en annan på klotet, d. v. s. en storcirkelbåge. Deras geometri skulle med ett ord sagt vara sfärisk.

Det de kallade rymd, vore denna sfär från vilken de ej kunde komma och på vilken försigginge alla de fenomen de kunde få kännedom om. Deras rymd skulle således vara utan gräns, eftersom man på en glob alltid kan gå framåt utan att någonsin behöva stanna, men likväl vore den avslutad; man skulle aldrig kunna nå fram till dess slut, men väl gå runt om den.

Gott! Riemanns geometri är just den sfäriska geometrien, utvidgad till tre dimensioner. För att konstruera den, har den tyske matematikern måst kasta över bord icke endast det euklidiska postulatet, utan även det första axiomet: genom tvenne punkter kan man endast draga en rät linje.

På ett klot kan man genom tvenne givna punkter vanligtvis blott draga en storcirkel (som enligt vad vi nyss sett spelade rollen av en rät linje hos våra inbillade varelser). Men det finnes ett undantag, nämligen om de tvenne givna punkterna äro diametralt motsatta, ty då kan man genom desamma draga en oändlighet med storcirklar.

På samma sätt är det i Riemanns geometri (åtminstone vid en av dess former). Genom tvenne punkter löper vanligtvis endast en rät linje, men det förekommer undantagsfall, då genom tvenne punkter en oändlighet av räta linjer kan uppdragas.

Mellan Riemanns och Lobatschewskys geometrier finnes en viss skiljaktighet.

Sålunda är summan av vinklarna i en triangel:

lika med två räta i Euklides' geometri;

mindre än två räta i Lobatschewskys geometri;

större än två räta i Riemanns geometri.

Antalet av de linjer, som genom en given punkt kunna dragas parallellt med en given rät linje, är lika med

ett i Euklides geometri;

noll i Riemanns, samt

oändligt i Lobatschewskys geometri.

Återstår att tillägga, det Riemanns rymd är avslutad, ehuru utan gränser i den mening, som här ovan givits detta uttryck.

Ytor med konstanta buktningar. En invändning låter sig emellertid göra. Lobatschewskys och Riemanns lärosatser uppvisa inga motsägelser, men huru talrika slutsatser dessa båda geometrer än dragit ur sina hypoteser, så hava de måst stanna, innan de alldeles uttömt dem, ty antalet skulle bliva oändligt. Vem garanterar oss, att om de hade fortsatt sina härledningar ännu längre, de ej till slut skulle hava stött på någon motsägelse.

Denna svårighet gäller icke för Riemanns geometri, så länge man inskränker sig till två dimensioner. Riemanns geometri i två dimensioner skiljer sig i själva verket ej, som vi hava sett, från den sfäriska geometrien, vilken endast är en gren av den vanliga och följaktligen ligger utanför all diskussion.

När Beltrami på samma sätt återför Lobatschewskys geometri i två dimensioner till att endast vara en gren av den vanliga geometrien, så vederlägger han likaledes invändningen, vad den beträffar.

Han har nått fram dit på följande sätt. Vi betrakta på en yta en figur vilken som helst samt antaga, att denna figur uppdragits på en böjlig och outsträckbar duk, som fästs på ytan på så sätt, att då duken rubbar sitt läge och sin form, figurens olika linjer kunna förändra form, utan att ändra sin längd. I allmänhet kan denna böjliga och outsträckbara figur ej rubba sitt läge, utan att lämna ytan, men det finnes vissa särskilda ytor, där en dylik rörelse är möjlig och det är ytor med konstanta buktningar.

Om vi återvända till den jämförelse vi gjorde för en stund sedan och föreställa oss varelser utan tjocklek levande på en sådan yta, så skulle de såsom möjlig betrakta rörelsen hos en figur, vars alla linjer bevara en konstant längd. En liknande rörelse skulle däremot anses för absurd av varelser utan tjocklek, men levande på en yta med varierande buktning.

Ytor med konstant buktning äro av två olika slag:

Somliga hava positiv buktning och kunna förändras till formen på så sätt, att de kunna bredas över ett klot. Dessa ytors geometri hänför sig sålunda till den sfäriska, som är Riemanns geometri.

Andra hava negativ buktning. Beltrami har visat oss, att dessa ytors geometri ej är någonting annat än Lobatschewskys. Riemanns och Lobatschewskys geometrier i två dimensioner återknytas sålunda till den euklidiska geometrien.

Tolkningen av de icke-euklidiska geometrierna. Sålunda skingrades invändningen vad beträffar geometrierna i två dimensioner.

Det skulle vara en lätt sak att utdraga Beltramis resonemang till geometrierna i tre dimensioner. De intelligenser, som ej tillbakavisa en uppfattning av rymden i fyra dimensioner, se ej någon svårighet häruti, men dessa äro föga talrika och jag föredrager därför att gå till väga på ett annat sätt.

Vi skola taga i betraktande ett visst plan, som jag skulle vilja kalla grundplan och upprätta ett sorts lexikon åt oss, genom att låta termerna på tvenne spalter motsvara varandra, alldeles som i ett vanligt lexikon, där orden i två språk sättas emot varandra, när deras betydelse är densamma:

Rymd	. . . .	del av den rymd, som finnes ovanför grundplanet.
Plan	. . . .	klot, som vinkelrätt skär grundplanet.
Rät linje	. . . .	cirkel, som vinkelrätt skär grundplanet.
Klot	. . . .	klot.
Cirkel	. . . .	cirkel.
Vinkel	. . . .	vinkel.
Avstånd mellan tvenne punkter	. . . .	Logaritmen på det dubbelförhållande dessa tvenne punkter och grundplanets intersektioner bilda med en genom dessa båda punkter gående cirkel, som vinkelrätt skär planet.
etc.		etc.

Låtom oss nu övergå till Lobatschewskys teoremer och översätta dem med tillhjälp av vår ordförklaring på samma sätt, som om vi skulle översätta en tysk text med tillhjälp av ett tysk-franskt lexikon. Vi skulle då erhålla den vanliga geometriens teoremer.

Detta Lobatschewskys teorem till exempel: "summan av vinklarna i en triangel är mindre än två räta", skulle i översättning lyda som följer: "Om en kroklinig triangel till sidor har cirkelbågar, som utdragna skulle vinkelrätt skära grundplanet, så bleve summan av denna krokliniga triangels vinklar mindre än två räta." Huru långt man sålunda än drager konsekvenserna av Lobatschewskys teoremer, ledes man aldrig till en motsägelse. Om tvenne Lobatschewskys teoremer verkligen vore motsägande, så skulle förhållandet bliva detsamma vid dessa två teoremers översättning med tillhjälp av vår ordförklaring, men dessa bliva den vanliga geometriens teoremer och ingen tvivlar på, att icke den vanliga geometrien är fri från motsägelser. Varifrån erhålla vi då denna visshet och är den berättigad? Detta är en fråga, som jag här ej kan upptaga till behandling, ty den erfordrar lång utredning. Således kvarstår intet vidare av den invändning jag förut formulerat.

Men detta är icke allt. Den Lobatschewskyska geometrien kan sålunda underkastas en korrekt uttolkning och upphör att vara blott och bart en övning i logik samt kan användas i olika tillämpningar. Jag har emellertid ej tid att här tala om, vilka dessa tillämpningar äro eller den nytta Klein och jag tillsammans haft av dem vid integrationen av lineära ekvationer.

Denna tolkning är för övrigt ej den enda, och man skulle kunna upprätta många lexikon i likhet med det på föregående sida, som alla genom en enkel "översättning" tilläte oss att omvandla Lobatschewskys teoremer till teoremer enligt den vanliga geometrien.

De underförstådda axiomen. Äro de i läroböckerna tydligt uttalade axiomen geometriens enda grundvalar? Man blir övertygad om motsatsen, när man ser, att de efter varandra kunna övergivas men ändock några för Euklides', Lobatschewskys och Riemanns teorier gemensamma propositioner kvarstå orubbade. Dessa propositioner måste vila på några förutsättningar, som geometrerna antaga utan att de uttala dem. Intressant är att söka lösgöra dem från de klassiska bevisen.

Stuart Mill påstår, att varje definition innehåller ett axiom, eftersom man vid definieringen underförstått påstår det definierade föremålets existens. Detta är dock att gå alltför långt. Inom matematiken är det sällsynt, att man giver en definition, utan att låta den åtföljas av ett bevis över det definierade föremålets existens, och då man underlåter att göra så, beror detta i allmänhet därpå, att läsaren lätt själv kan företaga denna komplettering. Man bör icke glömma, att ordet existens ej har samma betydelse, då man talar om ett matematiskt väsende, som när det är fråga om ett materiellt föremål. Ett matematiskt väsende existerar, så snart som dess definition ej innebär någon motsägelse, vare sig i sig självt eller med tidigare antagna propositioner.

Men om Stuart Mills anmärkning ej skulle finna tillämpning vid alla definitioner, så är den icke desto mindre riktig beträffande många av dem. Man definierar ofta planet på följande sätt:

Ett plan är en så beskaffad yta, att den räta linje, som sammanbinder tvenne punkter vilka som helst på detsamma, alltid helt och hållet befinner sig på denna yta.

Denna definition döljer uppenbarligen inom sig ett nytt axiom. Man kan visserligen ändra om den, men då måste man tydligt uttala axiomet.

Andra definitioner giva anledning till ej mindre viktiga reflektioner.

En sådan är exempelvis likheten mellan tvenne figurer. "Två figurer äro lika, om man kan lägga dem över varandra." När man vill lägga dem över varandra, måste man förändra den enas läge, så att den sammanfaller med den andra. Men på vilket sätt skall man då förändra den ena figurens läge? Om vi göra denna fråga, få vi säkerligen till svar, att detta skall ske, utan att rubba figurens form, liksom vid en oföränderlig solid kropp. Här faller kretsgången tydligt i ögonen.

Denna definition definierar i själva verket ingenting. Den har ingen mening alls för en varelse, som bebor en värld, där allting är flytande. Om den förefaller oss tydlig, beror detta på, att vi äro vana vid de naturliga, fasta kropparnas egenskaper, vilka icke mycket avvika från de inbillade fasta kropparnas och vars alla dimensioner äro oföränderliga.

Huru ofullständig den än är, så innesluter den ändock ett axiom i sig.

Möjligheten av rörelse hos en oföränderlig figur är icke en i sig självklar sanning, eller den är det åtminstone endast på samma sätt som det euklidiska postulatet och ej såsom ett analytiskt uttalande a priori.

Vid studiet av geometriens definitioner och bevis ser man för övrigt, att man utan att bevisa dem blir tvungen antaga icke endast denna rörelses möjlighet, utan även några av dess egenskaper.

Detta är just vad som först och främst tydligt framträder vid den räta linjens definition. Många bristfälliga sådana definitioner föreligga, men den verkliga definitionen är den, som underförstås i alla de bevis, där den räta linjen förekommer:

"Det kan förekomma, att rörelsen hos en oföränderlig figur är sådan, att en denna figur tillhörande linjes alla punkter förbliva orörliga, under det att alla utom denna linje liggande punkter röra sig. En sådan linje benämnes en rät linje." I denna avfattning hava vi avsiktligen skiljt definitionen från det axiom den innehåller.

Många bevis, såsom beträffande trianglars likhet, möjligheten att från en punkt på en rät linje draga en mot henne vinkelrät linje o. s. v., förutsätta propositioner dem man ej bryr sig om att uttala, emedan de tvinga till medgivandet av möjligheten att transportera en figur i rymden på ett visst sätt.

Den fjärde geometrien. Bland dessa underförstådda axiomer finnes särskilt ett, som synes mig värt en smula uppmärksamhet, ty om man frångår det, kan man konstruera upp en fjärde och lika sammanhängande geometri som någonsin Euklides', Lobatschewskys och Riemanns.

För att bevisa, att man alltid i en punkt $A$ kan draga en linje vinkelrätt upp ifrån en linje $AB$ , betraktar man en rät linje $AC$ såsom rörlig omkring punkten $A$ och ursprungligen sammanfallande med den fixa linjen $AB$ , och man låter den vrida sig omkring punkten $A$ , till dess den kommer in i $AB$ :s förlängning.

Man förutsätter sålunda tvenne propositioner. För det första att en dylik vridning är möjlig och vidare, att den kan fortsättas, till dess att var och en av de två linjerna kommer i den andras förlängning.

Om man antager den ena punkten och tillbakavisar den andra, så ledes man till en följd av teoremer, som äro ännu egendomligare än Lobatschewskys och Riemanns, men likaledes fria från motsägelser.

Jag skall icke anföra mera än ett av dessa teoremer, och jag väljer ej det besynnerligaste: "en verklig rät linje kan vara vinkelrät emot sig själv".

Lies teorem. Antalet av de i de klassiska bevisen underförstått medtagna axiomen är mycket större, än vad som är nödvändigt, och det skulle vara intressant att nedbringa dem till ett minimum. Man kunde då först fråga, om denna reduktion är möjlig, och om icke antalet nödvändiga axiomer och tänkbara geometrier är oändligt.

Ett av Sophus Lies teoremer behärskar hela denna diskussion, och man kan uttala det på följande sätt:

Vi antaga, att man godkänt nedanstående förutsättningar:

1) rymden har $n$ dimensioner;

2) en oföränderlig figurs rörelse är möjlig;

3) man behöver $p$ villkor för att bestämma denna figurs läge i rymden.

Antalet av med dessa förutsättningar förenliga geometrier är begränsat.

Jag vill ytterligare tillägga, att om $n$ är givet, kan man för $p$ angiva en övre gräns.

Om man sålunda antager rörelsens möjlighet, kan man endast utfinna ett begränsat (och ganska inskränkt) antal geometrier i tre dimensioner.

Riemanns geometrier. Emellertid synes det som om detta resultat motsades av Riemann, ty denne vetenskapsman bygger upp en oändlighet skiljaktiga geometrier, och den man vanligtvis benämner med hans namn, är blott ett särskilt fall ibland dem.

Allting, säger han, beror på sättet varpå man definierar längden hos en kurva. Det finnes nämligen en mängd olika sätt att definiera denna längd och vart och ett av dem kan bilda utgångspunkten för en ny geometri.

Detta är fullständigt riktigt, men de flesta av dessa definitioner äro oförenliga med en oföränderlig figurs rörelse och som förutsättes såsom möjlig i Lies teorem. Huru intressanta dessa Riemanns geometrier än äro, kunna de likväl aldrig bliva annat än rent analytiska och låta sig begagnas till bevis, analoga med den euklidiska geometriens.

Hilberts geometrier. Slutligen hava Veronese och Hilbert uppställt ännu mycket besynnerligare geometrier, vilka de kalla icke-arkimediska. Dessa hava de konstruerat med bortkastande av Arkimedes axiom, enligt vilket varje given längd, multiplicerad med ett tillräckligt stort helt tal, alltid blir större än varje annan given längd, huru stor denna än må vara. På en icke-arkimedisk rät linje förefinnas alla vår vanliga geometris punkter, men det förekommer även en oändlighet andra, som låta sig inskjutas emellan dem, på så sätt att mellan tvenne segment, vilka den gamla skolans geometrer skulle betrakta såsom kontinuum, kan man ordna in en oändlighet nya punkter. Den icke-arkimediska rymden är med andra ord, och för att använda samma uttryckssätt som i föregående kapitel, ej ett kontinuum av andra, utan av tredje ordningen.

Om axiomernas natur. De flesta matematici betrakta Lobatschewskys geometri enbart såsom en logisk kuriositet. Mången av dem har emellertid gått alltför långt i denna riktning. När nu många geometrier äro möjliga, är det då så alldeles säkert att just vår är den riktiga? Erfarenheten lär oss visserligen, att summan av vinklarna i en triangel är lika med två räta, men detta beror därpå att vi blott operera med mycket små trianglar. Skillnaden är enligt Lobatschewsky proportionell mot triangelns yta. Skulle den kanske bliva märkbar, om vi opererade med större trianglar, eller om våra mått bleve noggrannare? Den euklidiska geometrien skulle således endast vara en tills vidare gällande geometri.

För att dryfta denna uppfattning böra vi först fråga, vilken de geometriska axiomernas natur är.

Äro de syntetiska omdömen a priori, såsom Kant säger?

De tvinga sig i så fall på oss med en sådan styrka, att vi ej kunna förstå det motsatta påståendet och på detta ej heller kunna grunda en teoretisk byggnad. Att döma härav skulle det ej finnas någon icke-euklidisk geometri.

För att övertyga sig därom, kan man taga ett verkligt syntetiskt omdöme a priori, t. ex. detta, vars avgörande roll vi sågo i första kapitlet.

Om ett teorem är riktigt för talet 1 och om man har bevisat, att det är riktigt för $n+1$ , förutsatt att det är det för $n$ , så är det riktigt för alla hela positiva tal.

Man kan vidare försöka att undandraga sig denna proposition och under förnekande av den företaga sig att grunda en falsk aritmetik i enlighet med den icke-euklidiska geometrien — men man skall aldrig lyckas däri. Man bleve till och med frestad att betrakta dessa omdömen såsom analytiska.

Men nu skola vi återvända till våra djur utan tjocklek. Vi kunna väl knappast antaga, att dessa varelser, om de hava ett med vårt överensstämmande förstånd, skola antaga den euklidiska geometrien, som i allt vore motsägande deras erfarenhet.

Böra vi således draga den slutsatsen, att geometriens axiomer äro experimentella sanningar? Men man experimenterar ej med räta linjer eller tänkta cirkelperiferier, ty det kan man endast göra med materiella föremål. Varpå basera sig då de erfarenheter, som tjäna såsom grundval för geometrien? Svaret är lätt att finna.

Vi hava redan funnit, att man ständigt resonerar, som om de geometriska figurerna förhölle sig på samma sätt som fasta kroppar. Det geometrien lånar av erfarenheten, skulle då just vara dessa kroppars egenskaper.

Ljusets egenskaper och dess rätliniga fortplantning hava även utgjort en anledning, från vilken några av geometriens och i synnerhet den projektiva geometriens propositioner utgått, så att man från denna synpunkt sett vore frestad påstå, att den metriska geometrien vore studiet av de solida figurerna och den projektiva, studiet av ljuset.

Men en svårighet kvarstår och denna är oöverstiglig. Om geometrien vore en experimentell vetenskap, så skulle den icke vara en exakt vetenskap, utan den skulle vara underkastad en ständigt fortlöpande revidering. Men vad säger jag? Den skulle redan den dag i dag är överbevisas om misstag, emedan vi veta, att det icke existerar någon strängt oföränderlig solid figur.

De geometriska axiomen äro sålunda varken syntetiska omdömen a priori eller experimentella fakta.

De äro överenskommelser. Vårt val bland alla möjliga överenskommelser ledes av de experimentella fakta, men valet är fritt och inskränkes blott av nödvändigheten att undvika motsägelser. Det är på detta sätt postulaten kunna förbliva strängt riktiga, till och med då de experimentella lagarna, som hava bestämt deras antagande, blott äro approximativa.

Uttryckt på annat sätt, äro de geometriska axiomen (jag talar ej om de aritmetiska) endast förklädda definitioner.

Men vad böra vi då hädanefter tänka om denna fråga: är den euklidiska geometrien riktig?

Frågan är meningslös.

Lika väl kunde man fråga, om metersystemet är det riktiga och de gamla måtten falska, eller om de kartesianska koordinaterna äro riktiga och de polära oriktiga. En geometri kan ej vara riktigare än en annan, den kan endast vara bekvämare.

Den euklidiska geometrien är och förblir emellertid den bekvämaste:

1) emedan den är den enklaste, och den är det icke endast till följd av de vanor vår ande antagit eller genom någon sorts direkt intuition, som vi skulle hava om den euklidiska rymden. Den är i sig själv den enklaste, på samma sätt som ett polynom av första graden är enklare än ett polynom av andra graden. Den sfäriska trigonometriens formler äro mycket mera invecklade än den plana trigonometriens och de synas så i ännu mycket högre grad för en analytiker, som ej känner deras geometriska betydelse;

2) emedan den väl överensstämmer med egenskaperna hos de naturliga, fasta kropparna, vilka våra lemmar och ögon kunna sätta sig i förbindelse med och varmed vi göra våra mätinstrument.